Bourbaki seminar on the orbital stability for the gravitational Vlasov-Poisson system

Here is the text (in french) of the Bourbaki seminar I gave in November 2011:

Orbital stability for the gravitational Vlasov-Poisson system (after Lemou-Méhats-Raphaël, Guo, Lin, Rein et al.)

Here is the introduction:

Cet exposé est consacré aux avancées mathématiques récentes sur un problème célèbre de l’astrophysique, la stabilité de modèles galactiques. La question se formule très simplement : si l’on considère un ensemble d’un très grand nombre d’étoiles en interaction gravitationnelle (le rôle joué par les planètes dans la dynamique est négligé au premier ordre car leurs masses sont bien plus petites que celles des étoiles), dont la cohérence est assurée par leur attraction réciproque et que l’on considère en première approximation comme un système fermé, quelles sont les répartitions statistiques stables au cours du temps ? Autrement dit, quelles sont les configurations de galaxies observables dans notre univers ? On néglige ici les effets relativistes et on se place dans le cadre de la mécanique classique.

Ce problème semble à première vue tout autant insoluble que le problème à N corps de Newton. Comment formuler des prédictions à long terme sur un système de 10^{11} corps (c’est l’ordre de grandeur du nombre d’étoiles dans notre galaxie), alors même que l’on ne sait pas résoudre de manière satisfaisante le problème à 3 corps ! C’est ici que la mécanique statistique entre en jeu. En suivant les idées de Maxwell et de Boltzmann, on peut tenter de décrire de manière statistique l’évolution de nos N corps lorsque N tend vers l’infini et que les corps sont suffisamment “peu corrélés”, à travers une équation aux dérivées partielles non-linéaire sur la répartition d’un corps typique.

Cette approche a d’abord été appliquée aux cas de gaz collisionnels pour donner la célèbre équation de Boltzmann. Cependant, les collisions entre étoiles dans une galaxies sont quasi-absentes et l’interaction se fait essentiellement à distance via le champ gravitationnel. Dans les années 1930, Vlasov a découvert comment effectuer la limite N \to +\infty dans ce cas “non-collisionnel” afin d’obtenir des équations aux dérivées partielles non-linéaires dites de “champ moyen”. La plus célèbre d’entre elles est l’équation de Vlasov-Poisson, dont nous allons étudier ici la version gravitationnelle. Cette équation de transport non-linéaire décrit avec une excellente précision l’évolution de systèmes stellaires sur de grandes échelles de temps.

Ainsi, lorsque le nombre de corps est grand et que les corrélations sont faibles, on peut espérer formuler des prédictions de stabilité à partir de l’étude de l’équation de Vlasov-Poisson. C’est le physicien russe Antonov qui, le premier, découvre dans les années 1960 comment résoudre le problème de la stabilité, mais uniquement dans un cadre linéarisé. Il démontre ainsi la stabilité linéarisée des modèles galactiques sphériques et monotones en l’énergie microscopique pour des petites perturbations.  Cependant, l’équation de Vlasov-Poisson est réversible en temps, non dissipative, et ses solutions montrent des oscillations en temps grand ; rien ne garantit a priori que l’étude de stabilité linéarisée d’Antonov implique la stabilité non-linéaire recherchée. C’est ce problème mathématique que nous appellerons conjecture de stabilité non-linéaire à la Antonov. Durant les cinquante dernières années, l’analyse mathématique des équations cinétiques de Boltzmann et Vlasov a connu un fort développement. Cette conjecture de stabilité non-linéaire a été récemment démontrée par Lemou, Méhats et Raphaël, suivant des travaux précurseurs de Dolbeault, Guo, Hadzic, Lin, Rein, Sánchez, Soler, Wan, Wolansky ainsi que Lemou, Méhats et Raphaël (voir la bibliographie de l’article).

Dans cet exposé, nous proposerons tout d’abord dans la section 1 une introduction mathématique au problème, en expliquant l’origine du système de Vlasov-Poisson gravitationnelle à partir du problème à N corps. Nous rappellerons ensuite dans la section 2 les principales propriétés mathématiques de ce système d’équations. Puis nous aborderons dans la section 3 la résolution du problème lin\’earisé. Enfin nous traiterons dans la section 4 de la question de la stabilité non-linéaire. Nous retracerons l’histoire des différentes méthodes mathématiques développées pour attaquer ce problème, puis nous détaillerons le théorème central du travail [Inventiones Mathematicae, 2011] de Lemou, Méhats et Raphaël, en donnant un schéma détaillé de preuve.  Nous conclurons finalement avec des commentaires et questions ouvertes.

L’auteur remercie Y. Guo, P.-E. Jabin, M. Lemou, F. Méhats, Z. Lin, P. Raphaël et J. Soler pour les échanges par courriel ou discussions durant la préparation de cet exposé, ainsi que S. Martin pour ses relectures et commentaires sur ce texte.

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